射影定理公式

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瑞文問答

2024-09-03

在△ABC中，設(shè)∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則有：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA，這三個(gè)式子叫做射影定理。

擴(kuò)展資料

　　射影定理內(nèi)容：

　　AB=AD·AC，BC=CD·CA

　　兩式相加得：

　　AB+BC=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=AC（即勾股定理）。

　　注：AB的意思是AB的2次方。

　　射影定理證明：

　　已知:三角形中角A=90度。AD是高。

　　證明1：設(shè)點(diǎn)A在直線BC上的射影為點(diǎn)D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可證其余。

　　證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可證其余。